Главная

Решение треугольников и многоугольников

Прямоугольные треугольники

Рис. 1

Задано:	Найти:	Решение:
а, α	b, c, A	b = a·ctgα; c = a/sinα; A = (a^2/2)·ctgα
b, α	a, c, A	a = b·tgα; c = b/cosα; A = (b^2/2)·tgα
c, α	a, b, A	a = c·sinα; b = c·cosα; A = (c^2/2)·sinα·cosα = (c^2/4)·sin2α
а, b	α, β, c, A	tgα = a/b; α = 90° - β; tgβ = b/a; β = 90° - α; c = = a/sinα = b/cosα; A = ab/2
а, c	α, β, b, A	sinα = a/c; α = 90° - β; cosβ = a/c; β = 90° - α; b = = c·cosα = c·sinβ; A = (a/2) = (1/2)·a·c·sinβ

Косоугольные треугольники

Рис. 2

1-й случай: общий (рис.2)

Задано:	Найти:	Решение:
а, b, γ	c, α, β, A	c = sinα = a·sinγ/c; tgα = a·sinγ/(b-a·cosγ); sinβ = b·sinγ/c; tgβ = b·sinγ/(a-b·cosγ); F = a·b·sinγ/2
а, β, γ или a, α, β	b, c, A	α = 180° - (β + γ); β = 180° - (α + γ); γ = 180° - (α + β); c = ; b = a∙sinβ/sinα = a∙sinβ/sin(β+γ); c = a∙sinγ/sinα = a∙sinγ/sin(β+γ); A = a^2·sinβ·sinγ/(2sinα) = a^2/(2(ctgβ + ctgγ))

2-й случай: a > b (поэтому β острый); β < α (рис.2)

Задано:	Найти:	Решение:
а, b, α	β, γ, c, A	c = a·cosβ + b·cosα = a·sinγ/sinα = b·cosα ± ; sinβ = b·sinα/a; cosβ = ±; γ = 180° - (α + β); A = a·b·sinγ/2 = b·c·sinα/2

3-й случай: b > а. Треугольник не вполне определен, возможны два решения: β ± 90° (рис.3)

Рис. 3

Задано:	Найти:	Решение:
а, b, α	β, γ, c, A	γ=180°-(α+β);

Выражение углов треугольника через стороны и полупериметр

Задано: а, b, с.

Найти: α, β, γ, A

Полупериметр

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Правильный многоугольник

n - число сторон;

с - сторона многоугольника;

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга;

A - площадь многоугольника

;

n	C		R		r		A
3	1.732R	3.464r	0.577с	2.000r	0.289с	0.500R	0,433с^2	1,299R^2	5.196r^2
4	1.414R	2.000r	0.707с	1.414r	0.500с	0.707R	1,000с^2	2,000R^2	4.000r^2
5	1.176R	1.453r	0.851с	1.236r	0.688с	0.809R	1,721с^2	2,378R^2	3.633r^2
6	1.000R	1.155r	1.000с	1.155r	0.866с	0.866R	2,598с^2	2,598R^2	3.464r^2
7	0.868R	0.963r	1.152с	1.110r	1.038с	0.901R	3,635с^2	2.736R^2	3.371r^2
8	0.765R	0.828r	1.307с	1.082r	1.207с	0.924R	4.828с^2	2,828R^2	3.314r^2
9	0.684R	0.728r	1.462с	1.064r	1.374с	0.940R	6.182с^2	2.893R^2	3.276r^2
10	0.618R	0.650r	1.618с	1.052r	1.539с	0,951R	7.694с^2	2.939R^2	3.249r^2
11	0.564R	0.587r	1.775с	1.042r	1.703с	0.960R	9.364с^2	2.974R^2	3.230r^2
12	0.518R	0.536r	1.932с	1.035r	1.866с	0.966R	11.196с^2	3.000R^2	3.215r^2
16	0.390R	0,398r	2.563с	1.020r	2.514с	0.981R	20,109с^2	3.062R^2	3.183r^2
20	0.313R	0.317r	3.196с	1.013r	3.157с	0.988R	31.569с^2	3.090R^2	3.168r^2
24	0.261R	0.263r	3.831с	1.009r	3.798с	0.991R	45.575с^2	3.106R^2	3.160r^2
32	0.196R	0.197r	5.101с	1.005r	5.077с	0.995R	81.225с^2	3.121R^2	3.152r^2
48	0.131R	0.131r	7.645с	1.002r	7.629с	0.998R	183.08с^2	3.133R^2	3.146r^2
64	0.098R	0.098r	10.190с	1.001r	10.178с	0,999R	325.69с^2	3.137R^2	3.144r^2

---

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Теоретическая механика Сопротивление материалов

Прикладная механика Строительная механика Теория машин и механизмов

00:00:00